先日の解答 - 俺avionics 〜鹿倒せた奴は神、だった。あの頃までは…〜

(1)
$y=x^3-ax$ …①
また,点P $(p,p^3-ap)$ ,点Q $(q,q^3-aq)$ とおく.
直線PQは①と二点を共有するので,PかQのどちらかで直線PQは①と接する.
また,直線PQのy切片が $b^3\gt0$ なので,直線PQは点Pにおける①の関数の接線である.
$y'=3x^2-a$
∴ $y-(p^3-ap)=(3p^2-a)(x-p)$
⇔ $y=(3p^2-a)x-2p^3$
これは $(0,b^3)$ を通るので,
$2b^3=-2p^3$
⇔ $b=-p$ …*
よって直線PQは,
$y=(3b^2-a)x+2b^3$ //…②

(2)
①と②を連立して,
$x^3-ax=(3b^2-a)x+2b^3$
⇔ $x^3-b^2x-2b^3=0$ …③
この式は,
$(x-p)^2(x-q)=0$
という形で表すことができ,*より,
$(x+b)^2(x-q)=0$
⇔ $x^3+(2b-q)x^2+(b^2-2bq)x-b^2q=0$ …④
③,④を比較して,
$\{\begin{eqnarray}2b-q=0\\b^2-2bq=-3b^2\\-b^2q=-2b^3\nonumber\end{eqnarray}$
∴ $q=2b$ …**
よって,*,**より,
P $(-b,-b^3+ab)$ ,Q $(2b,8b^3-2ab)$ //

(3)
��POQ=90ﾟ
∴ $\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=0$
⇔ $\left$\begin{array}{c}-b\\-b^3+ab\end{array}\right$\cdot\left$\begin{array}{c}2b\\8b^3-2ab\end{array}\right$=0$
⇔ $-2b^2\left$\begin{array}{c}1\\b^2-a\end{array}\right$\cdot\left$\begin{array}{c}1\\4b^2-a\end{array}\right$=0$
$b\gt0$ より,
$1+(b^2-a)(4b^2-a)=0$
⇔ $4b^4-5ab^2+a^2+1=0$
この式が成り立つbが存在する,つまり $b\gt0$ である実数解が一つ以上あればよい.
よって $b^2=t$ とおくと,
$4t^2-5at+a^2+1=0$
この式が $t\gt0$ の実数解を一つ以上持つのは,
$f(t)=4t^2-5at+a^2+1$
とおいたとき,
$f(t)=4$t-\frac{5}{8}$^2-\frac{9}{16}a^2+1$
$\frac{5}{8}a\gt0$ より、
$-\frac{9}{16}a^2+1\leq0$
∴ $a\geq\frac{4}{3}$ //